ポアンカレ予想

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解けた!(by あんどうりんご)

「ポアンカレ予想」は解決 露の“隠遁数学者”に注目集まる
(sankei.jp.msn)

ポアンカレ予想は、いつかNスペか何かでドキュメントやってて、
これが正しいことの証明をした学者は、何か頭がおかしくなって
(…なんて書いたら問題があるか。ほとほと疲れて?)
今は消息不明、みたいな話だったと思うんですが。

とにかく、この問題は解決!と認定されたわけですね。

ポアンカレ予想というのは、フランスの学者ポアンカレによって
20世紀の初め頃に提案された数学的予想で、Wikipedia などを見ると

 『単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。』

なんて書いてある。はて、何のことやら。

ザックリいうと、
「単連結」というのは、切れ目なく連続しているつなぎ目のことで、
「3次元」とは、3軸(縦、横、高さ)で位置や形が表せるということで、
「閉」というのは、開いていない、穴が開いていないということで、
多様体というのは、要するに図形のこと。

つまり、“単連結な3次元閉多様体”とは、
“穴が開いてない立体”ってことですな。ざっくり過ぎか?

で、“3次元球面S3”というのは、
要は、3次元の球の表面、つまり“球面”ってこと(まんま)。

“同相”というのは、位相幾何学(トポロジー)で
お互いに同じ図形とみなせる、ということ。

トポロジーというのは、これもイメージの話になるけど、
その図形にある穴の数が同じなら、図形としても同じである
とみなすような幾何学。(→ Wikipedia - 位相幾何学

よく喩えられるのは、
ドーナツと取っ手が1つあるマグカップは同じ図形である
ってやつですね。

どちらも、穴は1つなので。

で、件のポアンカレ予想は、
穴が開いてない立体と球面は(トポロジー的に)同じ図形だろう?
といっている。

専門家から苦情がきそうな説明だけど、
シロウトが理解するには、こんな程度に書き下すしかないでしょう。

穴が開いてない立体というのは、その周囲を紐のようなもので
ぐるっと1周巻いて、それをひっかからずに1点に手繰り寄せられる。

これが、例えばドーナツのような形をした(穴がある)立体だと、
巻いた紐が穴にひかかって、1点に手繰り寄せられない。

そのような図形は、いわゆる球面しかないだろう、という話ですな。

これは、同じ3次元空間として理解される宇宙にもいえて、
宇宙が閉じた3次元空間であれば、それは球面に同じだ、と。

これもよく喩えられるのが、
地球から無限に長い紐を括りつけたロケットを発射して、
そのまま宇宙をぐるっと1周して地球に帰ってきたとき、
その紐の両端を引っ張って全部地球に手繰り寄せることができれば、
宇宙は(トポロジー的に)球といって良いだろう、という話。

つまり、ポアンカレ予想が正しくて、かつ宇宙が閉じていれば、
宇宙を幾何学的には球として扱うことができるということで、
つまり、問題がえらく単純化できる、てことになるのか。

ただ、宇宙は多分閉じているだろう、とはいわれてるけど
その真偽は定かではないので、宇宙論への発展はその解答を待ってから
ということになるんでしょうかね。

しかし、実際にそんなロケット飛ばすわけにもいかないし、
どうやって確かめるのやら。

むしろ、宇宙論の問題はそっちの方ですよね。


紐で思い出した。

全然関係ないかもだけど、私はウォークマンのイヤホンを
コードを巻いてポケットや鞄の中に突っ込でたりするんですが、
それを取り出して両耳のイヤホンを引っ張ると、
99.9999%くらいの確率でほぼ結び目ができるんですよね。

そりゃあそうだろう?と思われるかもしれませんが。

何でそうなるんだろうって、いつも思ってたんです。

別に、結び目ができてイラッとして理不尽な疑問を呈している
ってわけじゃないですよ。

いや、それもちょっとはあるけど。いや、大分あるけど。

これ、原因は、巻いてるから、でした。

巻かないで、単にくしゃくしゃっとダンゴ状態にして
ポケットなりに突っ込めば、それを取り出して伸ばしたとき
あまり結び目ができることはない(たまにはできるけど)。

巻くとコードに輪ができて、
その輪をイヤホンが1度でもくぐってしまうと結び目ができる。

何かこれ、ポアンカレ予想ほどではないけど、
ひとつの深遠な真理かもなぁ、なんて思えてきませんか。

思えませんか。そうですか。


素直にコードを巻き取れるイヤホンを買えばいいんだな。
もしくは、コードレスか。

私が今使ってるイヤホンは980円の安物なんですが、
コードレスは高いですよね。Bluetooth とか。


ちなみに、ポアンカレ予想はミレニアム賞の対象で、
解決できたらクレイ数学協会から100万ドルの賞金が出るんだけど、
解いたペレルマンさんはいらないといってるらしいですね。

ある真理を極める為にいくとこまでいくと、
もうお金とか名声とか名誉とか、そんな世俗の価値なんか
どうでもよくなるのかもしれませんね。


もし100万ドルも貰えたら、5000円とか1万円とかするような
Bluetoothヘッドセットでもサクッと買っちゃうのになー
なんて思ってる私なんか、真理から程遠いんでしょうな。

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